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向量点乘公式
发布时间：2025-03-12 14:15:24编辑：来源：网易
向量点乘，也被称为内积或标量积，是线性代数中一种非常重要的运算。它不仅在数学领域有着广泛的应用，在物理、工程学、计算机科学等领域也有着重要的作用。向量点乘的结果是一个标量（即一个单一的数值），而不是向量。
向量点乘的定义
对于两个n维向量 \(\vec{A} = (A_1, A_2, ..., A_n)\) 和 \(\vec{B} = (B_1, B_2, ..., B_n)\)，它们的点乘定义为：
\[
\vec{A} \cdot \vec{B} = A_1B_1 + A_2B_2 + ... + A_nB_n
\]
这个公式表明，两个向量的点乘等于第一个向量的第一个分量与第二个向量的第一个分量相乘，加上第一个向量的第二个分量与第二个向量的第二个分量相乘，以此类推，直到所有对应的分量都相乘并相加。
几何意义
从几何的角度来看，两个向量的点乘还可以表示为这两个向量的模长（长度）的乘积与它们之间夹角余弦值的乘积。具体来说：
\[
\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos{\theta}
\]
其中 \(|\vec{A}|\) 和 \(|\vec{B}|\) 分别代表向量 \(\vec{A}\) 和 \(\vec{B}\) 的模长，而 \(\theta\) 是这两个向量之间的夹角。这个表达式揭示了向量点乘与向量方向之间的关系：如果两个向量方向相同，则它们的点乘最大；如果方向相反，则点乘最小；如果垂直，则点乘为零。
应用实例
向量点乘在多个领域都有广泛应用。例如，在物理学中，力和位移的点乘可以计算出力在位移方向上的分量所做的功。在计算机图形学中，向量点乘用于判断光线的方向与物体表面法线的方向是否接近，从而确定光照效果。此外，在机器学习中，点乘也是许多算法中的核心操作之一。
总之，向量点乘是一个强大且灵活的概念，理解其背后的数学原理和几何意义有助于我们在不同学科中更有效地应用这一工具。
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