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求导数的公式
发布时间：2025-03-03 02:31:54编辑：来源：网易
导数是微积分中的基本概念之一，它描述了函数在某一点上的瞬时变化率。掌握一些基本的求导数公式对于理解和应用微积分至关重要。下面是一些常用的导数公式：
1. 常数的导数
任何常数C的导数都是0。
\[ \frac{d}{dx} C = 0 \]
2. 幂函数的导数
如果\(f(x) = x^n\)，其中n为任意实数，则其导数为：
\[ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \]
例如，当\(n=3\)时，\(f(x) = x^3\)的导数为\(3x^2\)。
3. 正弦和余弦函数的导数
正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数：
\[ \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x) \]
\[ \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x) \]
4. 指数函数的导数
自然指数函数\(e^x\)的导数仍然是它本身：
\[ \frac{d}{dx} e^x = e^x \]
对于一般的底数a，其导数为：
\[ \frac{d}{dx} a^x = a^x \ln(a) \]
5. 对数函数的导数
自然对数函数（以e为底）的导数为：
\[ \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \]
对于其他底数的对数函数，其导数为：
\[ \frac{d}{dx} \log_a(x) = \frac{1}{x \ln(a)} \]
6. 复合函数的链式法则
如果y是u的函数，而u是x的函数，即\(y=f(u)\)，\(u=g(x)\)，则复合函数\(y=f(g(x))\)的导数为：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]
7. 乘积法则
如果两个函数u和v的乘积为w，则w的导数为：
\[ \frac{dw}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \]
8. 商法则
如果两个函数u和v的商为w，则w的导数为：
\[ \frac{dw}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \]
这些基本的求导公式是解决微积分问题的关键工具，通过它们可以有效地计算出复杂函数的导数。掌握这些公式不仅有助于数学学习，也在物理学、工程学等多个领域有着广泛的应用。
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