是否存在整数m,n满足m^2+2010=n^2

大家好，小体来为大家解答以上的问题。是否存在整数m,n满足m^2+2010=n^2这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！

一、题文

是否存在正整数m使得f(n)=(2n+7)⋅3n+9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论，若不存在，说明理由．

二、解答

m的最大值为36．

三、分析

由f(n)=(2n+7)⋅3n+9得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36，由此猜想：m=36，下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时，显然成立；(2)假设n=k时，f(k)能被36整除，即f(k)=(2k+7)⋅3k+9能被36整除，当n=k+1时，[2(k+1)+7]⋅3k+1+9=3[(2k+7)⋅3k+1+27−27+2⋅3k+1+9]=3[(2k+7)⋅3k+9]+18(3k−1−1)，由于3k−1−1是2的倍数，故18(3k−1−1)能被36整除，这就是说，当n=k+1时，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)⋅3n+9能被36整除，m的最大值为36．

本文到此结束，希望对大家有所帮助。

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